Κυματοδήγηση σε βαθμοελαστικά μέσα διάδοσης με βιοϊατρικές εφαρμογές - Μαρτίκος, Ιωάννης (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2018)
Οι τάσεις, οι τροπές και ο αλληλοσυσχετισμός τους είναι τα θεμελιώδη στοιχεία της θεωρίας της ελαστικότητας. Με αυτά ξεκινάει και η παρούσα εργασία παρουσιάζοντας επίσης και κάποια βασικά και απαραίτητα εργαλεία, όπως οι εξισώσεις ισορροπίας και ο καταστατικός νόμος των ελαστικών υλικών. Η κλασική θεωρία της γραμμικής ελαστικότητας αδυνατεί να περιγράψει τη μηχανική συμπεριφορά υλικών με μικροδομή. Ως εκ τούτου, παρουσιάζεται αναλυτικά η γενική θεωρία της βαθμοελαστικότητας που προτάθηκε από τον \e{R.D. Mindlin} το 1964. Ξεκινώντας με μια μετατροπή στο διάνυσμα της μετατόπισης ώστε να περιγράφει την παραμόρφωση του συνεχούς και εισάγοντας τόσο στη δυναμική όσο και στην κινητική ενέργεια όρους υψηλότερης τάξης, οι οποίοι συνδέουν τα αποτελέσματα της μικροδομής με τη μακροδομική συμπεριφορά του υλικού, εξάγονται τελικά οι εξισώσεις κίνησης, συναρτήσει των τάσεων ή, με τη βοήθεια των καταστατικών εξισώσεων, συναρτήσει των μετατοπίσεων. Έπειτα, υποθέτοντας επίπεδα κύματα ως λύσεις για τις ως άνω εξισώσεις, καταλήγουμε στις σχέσεις διασποράς, δηλαδή τις σχέσεις μεταξύ της συχνότητας και του κυματαριθμού. Θεωρώντας μεγάλα μήκη κύματος και την ίδια παραμόρφωση της μικρο και μακρο-δομής, εισάγουμε μία απλοποιημένη μορφή της γενικής θεωρίας η οποία μειώνει αισθητά τον αριθμό των ελαστικών παραμέτρων, είναι η λεγόμενη προσέγγιση μικρής συχνότητας, πολύ μεγάλου μήκους κύματος (Μορφή ΙΙ). Ύστερα, προβαίνοντας σε κάποιες επιπλέον απλουστεύσεις, και θεωρώντας και πάλι επίπεδα κύματα, καταλήγουμε στις σχέσεις διασποράς των διαμήκων και εγκάρσιων κυμάτων που διαδίδονται σε ένα άπειρα εκτεταμένο βαθμοελαστικό χώρο. Ο βασικός σκοπός της εργασίας ωστόσο, είναι η διάδοση οδηγούμενων κυμάτων σε μία ελεύθερη από τάσεις βαθμοελαστική πλάκα 2 διαστάσεων, η οποία προσομοιάζει ένα φλοιώδες οστό. Αυτό επιτυγχάνεται δίνοντας στην πλάκα μηχανικές ιδιότητες παρόμοιες με αυτές ενός οστού. Μέσω της μεθόδου των δυναμικών, δίνεται λύση στις απλουστευμένες πια εξισώσεις κίνησης και εφαρμόζοντας τις συνοριακές συνθήκες για την πλάκα, διαμορφώνουμε τις σχέσεις διασποράς των οδηγούμενων κυμάτων. Τέλος, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις διασποράς, τόσο των οδηγούμενων όσο και των χωρικών, εγκάρσιων και διαμήκων κυμάτων, δημιουργούμε τις καμπύλες διασποράς της ταχύτητας των κυμάτων αυτών και τις συγκρίνουμε με τις αντίστοιχες των κυμάτων της κλασικής ελαστικότητας προσπαθώντας να βγάλουμε αξιόπιστα συμπεράσματα για την επίδραση της μικροδομής στη διασπορά της ταχύτητας.