Μη γραμμικά χωρικά εντοπισμένα κύματα σε ανομοιογενή μη τοπικά μέσα - Δραγώνας, Κωνσταντίνος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2018)
Ο σχηματισμός σολιτονικού τύπου κυμάτων σε ανομοιογενή μη τοπικά μέσα, με εγκάρσια περιοδική μεταβολή του γραμμικού δείκτη διάθλασης, αποτελεί το βασικό αντικείμενο μελέτης της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας. Είναι γνωστό, ότι η ύπαρξη και η τοπολογία αυτών των κυμάτων, σχετίζεται με την πολύπλοκη δυναμική του μη γραμμικού συστήματος διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τον σχηματισμό του εγκάρσιου προφίλ αυτών. Υπό αυτή την οπτική, τα σολιτονικού τύπου κύματα έχουν τη μορφή μίας χωρικά εντοπισμένης μετάβασης μεταξύ δύο ασυμπτωτικών καταστάσεων. Ως εκ τούτου, στο χώρο φάσεων του συστήματος, το εγκάρσιο προφίλ των κυμάτων αυτών αντιστοιχεί σε τομές των ευσταθών και ασταθών πολλαπλοτήτων των υπερβολικών λύσεων που αντιστοιχούν στις ασυμπτωτικές τους καταστάσεις. Αξιοποιώντας αυτή την γεωμετρική προσέγγιση του χώρου φάσεων, εξήχθη μέσω της θεωρίας Melnikov η συνθήκη μεταξύ των χαρακτηριστικών του μέσου και της κυματικής σταθεράς διάδοσης, για την ύπαρξη κυμάτων σολιτονικού τύπου. Δείχτηκε εν ολίγοις για την υπό διερεύνηση διαταραγμένη Μη-Γραμμική Εξίσωση Schrödinger (NonLinear Schrödinger Equation – NLSE), ότι η παρουσία χωρικής ανομοιογένειας σε συνδυασμό με μία πρώτης τάξης μη τοπική συνεισφορά στη μη γραμμική απόκριση του μέσου, οδηγεί στην ύπαρξη χωρικά εντοπισμένων κυμάτων. Επιπλέον, αφού υπολογίστηκε η συνάρτηση διακλάδωσης τύπου Melnikov, μελετήθηκαν οι τύποι των κυμάτων που προκύπτουν για τιμές παραμέτρων εκατέρωθεν της κρίσιμης επιφάνειας αυτής, μέσω του χωρικού εντοπισμού κάποιων εκ των τομών των πολλαπλοτήτων των υπερβολικών λύσεων των ασυμπτωτικών τους καταστάσεων, πάνω σε μια τομή Poincare του συστήματος για διάφορες τιμές παραμέτρων. Στην περίπτωση του παραμετρικού χωρίου ύπαρξης bright solitons, η ευστάθεια των κυμάτων που αντιστοιχούν στα πρώτα μηδενικά της συνάρτησης Melnikov προσδιορίστηκε με αναλυτικό τρόπο μέσω της ίδιας της συνάρτησης. Συμπεράσματα αναφορικά με την διάδοση και την ευστάθεια των bright solitons που αντιστοιχούν στις υπόλοιπες τομές και των kink solitons, εξήχθησαν με αριθμητικές μεθόδους μέσω της μελέτης της χρονικής εξέλιξης αυτών, δίδοντας ως αρχικές τιμές στη διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων τα εγκάρσια προφίλ των σολιτονικού τύπου κυμάτων που προσδιορίστηκαν. Η αριθμητική μέθοδος που επιλέχθηκε είναι η Split Step Fourier.