Διακριτά αντίστροφα προβλήματα: εφαρμογές με θόρυβο - Κυριακούδη, Αίγλη (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2018)
Τα αντίστροφα προβλήματα είναι μαθηματικά προβλήματα που εμφανίζονται όταν επιθυμούμε να ανακτήσουμε κάποιες πληροφορίες από δεδομένα που περιέχουν σφάλματα. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία ασχολούμαστε με τα αντίστροφα προβλήματα που προκύπτουν για προβλήματα που διατυπώνονται με την ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm πρώτου είδους. Η ανάλυση της επίλυσης αυτών των προβλημάτων γίνεται με το ανάπτυγμα ιδιαζουσών τιμών (SVE) για το συνεχές πρόβλημα. Το συνεχές πρόβλημα επιλύεται δύσκολα αριθμητικά οπότε το μετατρέπουμε σε ένα διακριτό πρόβλημα το οποίο ισοδυναμεί με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η διακριτοποίηση γίνεται με τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης ή τη μέθοδο αναπτύγματος Galerkin. Η παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών (SVD) χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το SVE για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος. Με τη βοήθεια της SVD ορίζεται η συνθήκη Picard, η ικανοποίηση της οποίας εξασφαλίζει την επιλυσιμότητα του προβλήματος. Στη συνέχεια, μελετάμε τα σφάλματα, δηλαδή το θόρυβο που υπάρχει στα δεδομένα, ο οποίος ακολουθεί την Γκαουσιανή κατανομή. Η ομαλότητα της λύσης έχει ως απαίτηση τη μείωση του θορύβου. Για αυτό το σκοπό εισάγονται τρεις μέθοδοι ομαλοποίησης, η Truncated SVD (TSVD), η Selective SVD (SSVD) και η μέθοδος Tikhonov. Οι δύο πρώτες μέθοδοι απαιτούν τον υπολογισμό της SVD ενώ η μέθοδος Tikhonov απαιτεί την επίλυση ενός προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων. Για τη μέθοδο Tikhonov χρησιμοποιείται η μέθοδος της L-curve για την ανάλυση του προβλήματος. Εκτός από το θόρυβο που ακολουθεί την Γκαουσιανή κατανομή, υπάρχουν και άλλα είδη θορύβου, τα οποία μετατρέπουμε με κατάλληλους μετασχηματισμούς σε θόρυβο που μοιάζει με τον προηγούμενο, για να είναι πιο εύκολη η διαδικασία επίλυσης. Τέλος, παρουσιάζονται κάποιες υπολογιστικές εφαρμογές για την εξαγωγή συμπερασμάτων σύμφωνα με τη θεωρία που αναπτύχθηκε.