Πολυδιάστατο ανάπτυγμα πολυωνυμικού χάους με χρήση πλήρων και αραιών πλεγμάτων Smolyak. Εφαρμογές σε αεροδυναμικά αχήματα με γεωμετρικές ατέλειες - Φαράκου, Μαρία (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών. Τομέας Ρευστών. Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών, 2017)
Στη διπλωματική εργασία αυτή διατυπώνεται, προγραμματίζεται και χρησιμοποιείται το πολυδιάστατο ανάπτυγμα πολυωνυμικού χάους (Polynomial Chaos Expansion, PCE) με χρήση πλήρων και, ειδικότερα, αραιών πλεγμάτων Smolyak. Το ανάπτυγμα πολυωνυμικού χάους είναι ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για τον υπολογισμό μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης μιας συνάρτησης απόκρισης, όταν οι είσοδοι αυτής δεν διατηρούν σταθερή τιμή αλλά υπόκεινται σε στοχαστικές μεταβολές. Λόγω της αβεβαιότητας που υπεισέρχεται στο πρόβλημα, οι μεταβλητές εισόδου αυτές ονομάζονται αβέβαιες ή στοχαστικές μεταβλητές. ΄Οταν ο αριθμός των αβέβαιων μεταβλητών εισόδου του προβλήματος είναι σχετικά μικρός, πρακτικά έως και τρεις, τότε γίνεται χρήση των πλήρων πλεγμάτων για την υλοποίηση του πολυδιάστατου PCE. Στην περίπτωση όμως προβλήματος με διάνυσμα εισόδου άνω των τριών αβέβαιων συνιστωσών, η μέθοδος των πλήρων πλεγμάτων απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό αξιολογήσεων της συνάρτησης του προβλήματος, κάτι το οποίο όταν πρόκειται για σύνθετους υπολογισμούς, καθιστά την μέθοδο απαγορευτική. Ακριβώς για αυτήν την κατηγορία προβλημάτων, αναπτύσσεται η μέθοδος αραιών πλεγμάτων γνωστή και ως μέθοδος Smolyak. Η μέθοδος αυτή είναι ιδανική για προβλήματα πολλών διαστάσεων, αφού μειώνει κατά μεγάλο βαθμό το υπολογιστικό κόστος. Η μέθοδος αναπτύσσεται και αρχικά εφαρμόζεται είτε ξεχωριστά είτε σε συνδυασμό με το πολυδιάστατο PCE σε απλά μαθηματικά προβλήματα. Η θεωρία του πολυδιάστατου PCE, τόσο χρησιμοποιώντας πλήρη όσο και αραιά πλέγματα Smolyak, εφαρμόζεται σε προβλήματα ροής γύρω από αεροτομές. Η αβεβαιότητα στα προβλήματα αυτά, αφορά τη γεωμετρία του περιγράμματος της αεροτομής. Η παραμετροποίηση των περιγραμμάτων των αεροτομών γίνεται με χρήση πολυωνύμων Bezier-Bernstein, δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στην παραμετροποίηση των ακμών προσβολής και εκφυγής, συνεπώς η στοχαστικότητα υπεισέρχεται στο πρόβλημα μέσω των σημείων ελέγχου Bezier. Σκοπός είναι η προσομοίωση της στοχαστικότητας της ροής λόγω της στοχαστικής αλλαγής της γεωμετρίας του σχήματος.