Κανονικές μορφές μετασχηματισμών και πινάκων - Σωφρονίου, Δήμητρα (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2017)
Στη παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται οι κανονικές μορφές μετασχηματισμών και πινάκων. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά σε ορισμούς της γραμμικής άλγεβρας. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμοί, καθώς και θεωρήματα της βασικής άλγεβρας τα οποία στοχεύουν να συνεισφέρουν σε επόμενο κεφάλαιο για την απόδειξη του θεωρήματος της πρωταρχικής ανάλυσης. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται η κανονική μορφή πίνακα διάστασης m×n ως προς τη σχέση ισοδυναμίας. Επίσης δίνεται παράδειγμα της διαδικασίας αναγωγής ενός m×n πίνακα στη συγκεκριμένη κανονική μορφή. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται η κανονική μορφή ενός τετραγωνικού πίνακα ως προς τη σχέση ομοιότητας, δηλαδή μας απασχολεί η εύρεση αντιπροσώπων της απλούστερης μορφής, όπως διαγώνιοι ή τριγωνικοί, σε κάθε κλάση ισοδυναμίας του συνόλου των τετραγωνικών πινάκων πάνω σε ένα σώμα. Θα γίνει αναφορά στη τριγωνική μορφή, στη κανονική μορφή Jordan και στη ρητή κανονική μορφή, οι οποίες αποτελούν τις βασικές κανονικές μορφές. Επιπλέον, παρουσιάζεται το θεώρημα πρωταρχικής ανάλυσης και ορίζονται οι μηδενοδύναμες γραμμικές απεικονίσεις και πίνακες και στη συνέχεια η έννοια των κυκλικών υποχώρων με τη βοήθεια των οποίων θα μελετηθεί η εύρεση της ρητής κανονικής μορφής πίνακα ως προς τη σχέση ομοιότητας. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η κανονική μορφή ενός πίνακα σε χώρο εσωτερικού γινομένου με τη χρήση του θεωρήματος Schur και τονίζεται η περίπτωση αναφοράς σε κανονικό πίνακα.