Ευστάθεια Μη Γραμμικών Συστημάτων με χρήση γενικευμένων κριτηρίων Lyapunov - Χρυσάφη, Αικατερίνη (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2017)
Η παρούσα εργασία ,ασχολείται με την ανάλυση ευστάθειας μη γραμ- μικών δυναμικών συστημάτων μέσω γενικεύσεων της κλασικής μεθόδου Lyapunov .Συγκεκριμένα επιχειρείται ο περιορισμός των απαιτούμενων ιδιοτήτων βοηθητικών συναρτήσεων ώστε να συνεπάγονται τα διάφορα είδη ευστάθειας ενός σημείου ισορροπίας .Η εργασία αποτελείται από επτά κεφάλαια και τη βιβλιογραφία . Στο πρώτο κεφάλαιο ,παρουσιάζεται η τυπική μορφή της θεωρίας Lyapunov για αυτόνομα δυναμικά συστήματα .Παρατίθεται ως επέ- κταση ,το Θεώρημα των Barbashin-Krasowskii που εγγυάται τις ιδιό- τητες ευστάθειας ολικά .Επιπλέον διατυπώνεται και αποδεικνύεται το Θεώρημα αστάθειας του Chetaev .Παρεμβάλλονται παραδείγματα ευ- στάθειας και αστάθειας ώστε να γίνουν κατανοητά τα αποτελέσματα των εν λόγω θεωρημάτων . Στο δεύτερο κεφάλαιο ,διατυπώνεται και αποδεικνύεται η αρχή του αναλλοίωτου του LaSalle .Πρόκειται για ένα θεώρημα το οποίο αξιο- ποιεί τοπολογικές ιδιότητες συνόλων προκειμένου να μελετηθεί η συ- μπεριφορά των τροχιών ενός αυτόνομου συστήματος με την πάροδο του χρόνου .Οι απαραίτητοι ορισμοί των εννοιών που χρησιμοποιούνται ,διατυπώνονται συνοπτικά στην αρχή του κεφαλαίου .Η συγκεκριμένη αρχή ,αποτελεί ένα ιδιαίτερα χρήσιμο αποτέλεσμα ειδικά σε περιπτώ- σεις όπου δια της μεθόδου Lyapunov, οδηγούμαστε σε ανεπαρκή συ- μπεράσματα. Στο τρίτο κεφάλαιο ,συνδυάζονται στοιχεία της θεωρίας γραμμικών και μη γραμμικών συστημάτων προς διατύπωση θεωρημάτων ευστά- θειας .Η μέθοδος που προτείνεται,γνωστή και ως ”Έμμεση μέθοδος Lyapunov” ,βασίζεται κυρίως σε ιδιότητες πινάκων και συμπεριφοράς των ιδιοτιμών τους . Στο τέταρτο κεφάλαιο ,αρχικά παρουσιάζονται συνοπτικά η έννοια του χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος και οι αντίστοιχες προεκτά- σεις της θεωρίας Lyapunov για τη μελέτη της ευστάθειας .Στη συνέχεια εισάγονται οι έννοιες των συναρτήσεων κλάσης K,KL οι οποίες αποτελούν χρήσιμο αποδεικτικό εργαλείο για αποτελέσματα που προ- κύπτουν σε επόμενα κεφάλαια .Τέλος ,διατυπώνεται και αποδεικνύεται ένα θεώρημα ομοιόμορφης ασυμπτωτικής ευστάθειας . Στο πέμπτο κεφάλαιο ,παρατίθενται εναλλακτικές μέθοδοι υπό πε- ριπτώσεις όπου η μέθοδος Lyapunov αποτυγχάνει να εφαρμοστεί με τη χρήση συγκεκριμένων βοηθητικών συναρτήσεων .Διατυπώνονται και αποδεικνύονται αναλυτικά τα θεωρήματα των Butz και Gunderson . Στο έκτο κεφάλαιο ,παρουσιάζεται αναλυτικά και σε κάθε στάδιο η μέθοδος των Meigoli και Nikravesh .Οι τελευταίοι ,εκμεταλλευόμενοι τις ιδέες των δύο παραπάνω θεωρημάτων ,οδηγούνται σε ένα γενικευμένο αποτέλεσμα όπου απλοποιούνται οι ιδιότητες μιας Lyapunov συνάρτη- σης .Τα πορίσματα που προκύπτουν επιτρέπουν την εξαγωγή αποτε- λεσμάτων ευστάθειας διαθέτοντας αρχικά μία ακατάλληλη Lyapunov συνάρτηση και επιπλέον οδηγούν πιθανώς στην εύρεση μεγαλύτερης περιοχής έλξης σε σχέση με την αντίστοιχη που προκύπτει μέσω της μεθόδου Lyapunov .Στην τελευταία ενότητα ,διατυπώνονται και απο- δεικνύονται δύο αντίστροφα θεωρήματα τα οποία αξιοποιούν τα παρα- πάνω αποτελέσματα Στο έβδομο κεφάλαιο ,τα αποτελέσματα της προσέγγισης των Meigoli και Nikravesh διαφαίνονται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων .Στα παραδείγματα αυτά ,αποδεικνύεται η ασυμπτωτική ευστάθεια με εφαρ- μογή είτε της πρώιμης ,είτε της τελικής μορφής του βασικού θεωρήματος του κεφαλαίου 6 . Τέλος ,πραγματοποιείται σύνοψη και συζήτηση πάνω στα αποτελέ- σματα που προέκυψαν μέσω της νέας μεθόδου και γίνονται προτάσεις για μελλοντική ερευνητική εργασία