Παραγοντοποιήσεις πινάκων και εφαρμογές - Μαραγκού, Σοφία (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2017)
Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των βασικών μεθόδων παραγοντοποίησης ενός τυχαίου m x n πίνακα και κατ’ επέκταση οι σημαντικές εφαρμογές που προκύπτουν από την ανάλυση του πίνακα αυτού σε ειδικούς παράγοντες. Οι βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης πίνακα είναι η μέθοδος LU, η μέθοδος του Cholesky η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση της LU, η μέθοδος QR και τέλος η ανάλυση ιδιαζουσών τιμών ή αλλιώς παραγοντοποίηση SVD. Οι εφαρμογές των μεθόδων αυτών είναι ποικίλες, με σημαντικότερες την επίλυση γραμμικών συστημάτων, τον υπολογισμό του αντίστροφου και ψευδοαντίστροφου πίνακα, την επίλυση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων και τον υπολογισμό της τάξης πίνακα. Ακόμη σημαντικές είναι οι εφαρμογές στο χώρο της Στατιστικής, της Πληροφορικής και άλλων επιστημονικών κλάδων. Στη μέθοδο LU παραγοντοποιούμε τον πίνακα Α σε γινόμενο δύο πινάκων της μορφής Α = LU , όπου ο L είναι ένας m x m κάτω τριγωνικός πίνακας με τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα με 1, ενώ ο U είναι κλιμακωτός m x n πίνακας. Η μέθοδος του Cholesky αποτελεί ειδική περίπτωση της LU παραγοντοποίησης, καθώς προϋποθέτει ο πίνακας Α να είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος (όταν Κ = ℝ, αντίστοιχα ερμιτιανός και θετικά ορισμένος αν Κ = ℂ). Έτσι ο πίνακας Α αναλύεται σε γινόμενο δύο πινάκων της μορφής Α = LLT ( αντίστοιχα Α = LL* ) , όπου ο πίνακας L είναι τριγωνικός κάτω και με θετικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο. Στη μέθοδο QR ο πίνακας Α είναι ένας m x n πίνακας με στήλες γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα και μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πινάκων της μορφής A = QR ,όπου Q ο m x n πίνακας με στήλες ορθοκανονικά διανύσματα και R είναι ένας n x n αντιστρέψιμος τριγωνικός πάνω πίνακας. Τέλος, στην ανάλυση ιδιαζουσών τιμών (SVD) ο πίνακας Α ∈ Μm x n (ℝ) βαθμού ρ(Α) = r γράφεται ως γινόμενο A = UΣVT , (αντίστοιχα Α = UΣV* αν Α ∈ Μm x n (ℂ) ) , όπου U είναι ένας m x m ορθογώνιος πίνακας, V είναι ένας n x n ορθογώνιος πίνακας και Σ = (σij) είναι ένας m x n πίνακας με σii = σi , i = 1,2,…,r , σii = 0 , για i = r+1,…,m και σij = 0, για i ≠ j , όπου σi οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα.