Η Stone-Cech συμπαγοποίηση μέσω των υπερφίλτρων και το θεώρημα Hindman - Τηνιακουδάκης, Αντώνης (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2017)
Κατασκευάζουμε την συμπαγοποίηση Stone-Čech με τη χρήση των υπερφίλτρων. Αρχικά, μετά από κάποια απαραίτητα στοιχεία γενικής τοπολογίας, παρουσιάζουμε την έννοια του φίλτρου και μιας κατηγορίας αυτών τα υπερφίλτρα και αποδεικνύουμε μερικά βασικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια της εργασίας εισάγεται μια έννοια σύγκλισης για τα φίλτρα σε τοπολογικούς χώρους και γίνεται η σύνδεση ανάμεσα στα φίλτρα και την τοπολογία. Αποδεικνύουμε βασικά αποτελέσματα, όπως το Θεώρημα Tychonoff, με τη βοήθεια των υπερφίλτρων. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε γενικά τη διαδικασία συμπαγοποίησης ενός τοπολογικού χώρου, την εμφύτευση δηλαδή ενός χώρου που εν γένει δεν είναι συμπαγής μέσα σε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff, και δίνουμε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένας τοπολογικός χώρος να έχει συμπαγοποίηση. Έπειτα κατασκευάζουμε τον βX, την Stone-Čech συμπαγοποίηση ενός Completely Regular Hausdorff τοπολογικού χώρου X και αποδεικνύουμε την ιδιότητα συνεχούς επέκτασης που την χαρακτηρίζει. Η κατασκευή του βX γίνεται σε δύο φάσεις, αρχικά για διακριτούς χώρους και μετά για τη γενικότερη περίπτωση. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας παρουσιάζουμε το Θεώρημα Hindman σαν μια εφαρμογή των όσων είδαμε. Ένα θεώρημα με καθαρά συνδυαστικό χαρακτήρα το οποίο αποδεικνύεται με ένα πολύ ενδιαφέρον τρόπο μέσω της Stone-Čech συμπαγοποίησης των φυσικών αριθμών.