Στοχαστικός Λογισμός και Τιμολόγηση Χρηματοοικονομικών Παραγώγων - Πύλια, Ελένη (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο.Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2017)
Στην παρούσα Μεταπτυχιακή Εργασία ασχολούμαστε με το Στοχαστικό Λογισμό και μελετάμε κάποιες εφαρμογές του στην τιμολόγηση χρηματοοικονομικών παραγώγων. Στο πρώτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Αρχικά, ορίζονται οι σ-άλγεβρες και τα μέτρα πιθανότητας. Στη συνέχεια, διατυπώνεται η αξιωματική θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων και εισάγεται η έννοια της τυχαίας μεταβλητής σε έναν χώρο πιθανότητας. Έπειτα ορίζεται το ολοκλήρωμα Lebesgue και μέσω αυτού η μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Στη συνέχεια, αναφέρονται τα βασικά οριακά Θεωρήματα και ορίζεται η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, οι τρόποι σύγκλισης και η ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών. Στο δεύτερο Κεφάλαιο μελετάμε το Στοχαστικό Λογισμό. Αρχικά, εισάγεται η έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής και των στοχαστικών ανελίξεων. Στη συνέχεια, ορίζονται οι διαδικασίες martingale (συνεχούς και διακριτού χρόνου) και μελετάμε κάποιες ιδιότητες αυτών. Έπειτα, ορίζουμε τις ιδιότητες Markov και την κίνηση Brown. Στη συνέχεια, ορίζουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα, μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητές του και αναφέρουμε διάφορες μορφές του τύπου του Itô. Στο επόμενο υποκεφάλαιο, παρουσιάζουμε την απόδειξη του Θεωρηματος Cameron-Martin-Girsanov. Στο τέλος του Κεφαλαίου μελετάμε τις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις και τη σχέση τους με τις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Στο τρίτο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε κάποιες εφαρμογές της παραπάνω θεωρίας στην τιμολόγηση χρηματοοικονομικών παραγώγων σε αγορές διακριτού χρόνου. Αρχικά, ορίζουμε τα βασικά χρηματοοικονομικά παράγωγα και μελετάμε την αρχή της μη επιτηδειότητας, η οποία είναι αξίωμα στα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά. Στη συνέχεια, δίνεται η περιγραφή του διωνυμικού μοντέλου μιας περιόδου και του διωνυμικού μοντέλου πολλών περιόδων. Έπειτα, ορίζονται τα μέτρα martingale, με τη βοήθεια των οποίων εξετάζουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των τιμών των παραγώγων. Στο τέλος του Κεφαλαίου αποδεικνύονται οι τύποι για την τιμολόγηση ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης, με βάση το μοντέλο Black & Scholes. Στο τελευταίο Κεφάλαιο γίνεται αναφορά στην τιμολόγηση χρηματοοικονομικών παραγώγων σε αγορές συνεχούς χρόνου. Στην αρχή του κεφαλαίου μελετάμε τα χαρτοφυλάκια στα πλαίσια του μοντέλου Black & Scholes. Στη συνέχεια, δίνουμε τα εργαλεία με τα οποία είναι εφικτή η εύρεση της δίκαιης τιμής των δικαιωμάτων ευρωπαϊκού τύπου. Στο τέλος του Κεφαλαίου γράφουμε μερικά παραδείγματα τιμολόγησης παραγώγων.