Το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα της εύρεσης του δείκτη διάθλασης για το εσωτερικό πρόβλημα διαπερατότητας - Παλληκαράκης, Νικόλαος (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2017)
Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η μελέτη του αντίστροφου εσωτερικού προβλήματος διαπερατότητας (inverse transmission eigenvalue problem), δηλαδή του προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης ενός μη ομογενούς μέσου από τις ιδιοτιμές διαπερατότητας (transmission eiegenvalues). Βασιζόμενοι σε γνωστά αποτελέσματα για την περίπτωση όπου ο δείκτης διάθλασης είναι σφαιρικά συμμετρικός και C2 συνάρτηση, διατυπώνουμε το αντίστροφο φασματικό πρόβλημα για τον δείκτη διάθλασης με ασυνέχειες. Διερευνάμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των ιδιοσυναρτήσεων για μεγάλες τιμές της φασματικής παραμέτρου, και μελετάμε την εξάρτησή τους από την ασυνέχεια. Αποδεικνύουμε ότι ο ασυνεχής δείκτης μπορεί να προσδιοριστεί μοναδικά από τη γνώση όλων των ιδιοτιμών διαπερατότητας, χωρίς περιορισμούς στη θέση της ασυνέχειας. Στη συνέχεια, προτείνουμε μία αριθμητική μέθοδο για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών διαπερατότητας. Υιοθετούμε μία μέθοδο τύπου Galerkin η οποία βασίζεται στη μεταβολική διατύπωση του προβλήματος. Με την κατάλληλη αναπαράσταση του προβλήματος ως ένα πρόβλημα τελεστών αποδεικνύουμε τη σύγκλιση της μεθόδου. Έπειτα, ορίζουμε το αντίστροφο πρόβλημα διαπερατότητας και δείχνουμε ότι το πρόβλημα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα αντίστροφο τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών (inverse quadratic eigenvalue problem). Μελετάμε την περίπτωση του σφαιρικά συμμετρικού και κατά τμήματα σταθερού δείκτη διάθλασης και δείχνουμε ότι ένας σχετικά μικρός αριθμός ιδιοτιμών επαρκεί για τις ανακατασκευές. Επίσης εισάγουμε έναν αλγόριθμο τύπου Newton για ανακατασκευές στη γενική περίπτωση του κατά τμήματα σταθερού δείκτη διάθλασης. Η μέθοδός μας συνοδεύεται από παραδείγματα. Ανακεφαλαιώνοντας, σκοπός μας είναι να μελετήσουμε το ασυνεχές πρόβλημα διαπερατότητας εστιάζοντας στο κατά πόσο η ύπαρξη ασυνεχειών επιδρά στο αντίστροφο πρόβλημα. Κίνητρο για την εργασία μας είναι το αντίστροφο πρόβλημα της εύρεσης ιδιοτήτων υλικών με διαστρωματώσεις, το οποίο έχει εφαρμογή στο μη καταστροφικό έλεγχο και την αναγνώριση αντικειμένων.