Περιοχές κίνησης και θέσεις ισορροπίας ενός μικρού σώματος στο δακτυλιοειδές πρόβλημα των Ν+1 σωμάτων, όπου το κεντρικό σώμα δημιουργεί δυναμικό τύπου Schwarzschild - Μακρής, Κωνσταντίνος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς ενός μικρού σώματος που κινείται στο πεδίο δυνάμεων που δημιουργεί ένας σχηματισμός Ν μεγάλων σωμάτων, όπου τα ν=Ν-1 έχουν ίδια μάζα m, βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις στην περιφέρεια ενός νοητού κύκλου (ή στις κορυφές ενός νοητού κανονικού ν-γώνου), κινούνται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από το κέντρο μάζας τους διατηρώντας ίσες τις μεταξύ τους αποστάσεις και δημιουργούν Νευτώνεια πεδία. Το Ν-οστό σώμα με μάζα m0 βρίσκεται στο κέντρο του σχηματισμού (που αποτελεί και το κέντρο μάζας του συστήματος) και δημιουργεί ένα μετά-Νευτώνειο δυναμικό τύπου Schwarzschild. Η συμπεριφορά του μικρού σώματος καθορίζεται από τρεις παραμέτρους: την παράμετρο μάζας β που ισούται με το λόγο της κεντρικής μάζας προς μία περιφερειακή (β=m0/m), το πλήθος ν των περιφερειακών σωμάτων και την παράμετρο Schwarzschild q. Μετά από μία σύντομη εισαγωγή στις βασικές έννοιες των δυναμικών συστημάτων, γίνεται η γεωμετρική περιγραφή του σχηματισμού των μεγάλων σωμάτων του συγκεκριμένου δυναμικού συστήματος και κατόπιν εξάγονται οι αδιάστατες εξισώσεις που διέπουν την κίνηση του μικρού σώματος σε ένα κινούμενο σύστημα αναφοράς, καθώς και το ολοκλήρωμα της κίνησης που απορρέει από αυτές. Με τη βοήθεια του ολοκληρώματος αυτού, μελετούμε την παραμετρική μεταβολή των καμπύλων και των επιφανειών μηδενικής ταχύτητας, καθώς και των διαγραμμάτων x-C. Στη συνέχεια ασχολούμαστε με τoν εντοπισμό και τον ακριβή προσδιορισμό των υπαρχουσών θέσεων ισορροπίας του μικρού σώματος, την παραμετρική μεταβολή τους καθώς και τη γραμμική τους ευστάθεια. Ακολούθως, συγκρίνουμε τα ληφθέντα αποτελέσματα τόσο με τη βαρυτική περίπτωση, όσο και με την περίπτωση ενός μετά-νευτώνειου δυναμικού τύπου Manev το οποίο έχει μελετηθεί στο παρελθόν. Τέλος, για μια συγκεκριμένη τριάδα τιμών των παραμέτρων, μελετούμε την εξέλιξη των περιοχών επιτρεπτής κίνησης και των δημιουργούμενων περιοχών παγίδευσης του μικρού σώματος όταν μεταβάλλεται η σταθερά του Jacobi, καθώς και τις διάφορες τοπολογικές μεταβολές που συμβαίνουν στις ενεργειακές τιμές των θέσεων ισορροπίας της σταθεράς αυτής.