Το ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα της ηλεκτροεγκεφαλογραφίας και μαγνητοεγκεφαλογραφίας σε ελλειψοειδή γεωμετρία - Γιαννοπούλου, Ουρανία (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Στη παρούσα διπλωματική παρουσιάζεται το ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα της ηλεκτροεγκεφαλογραφίας και της μαγνητοεγκεφαλογραφίας για ελλειψοειδή αγωγό με μία διπολική πηγή στο εσωτερικό. Το πρώτο κεφάλαιο είναι εισαγωγικό σε ότι αφορά τη φυσιολογία του εγκεφάλου μακροσκοπικά και μικροσκοπικά, τη χρήση των τεχνικών ιατρικής απεικόνισεις ηεγ και μεγ, την διαδιασία εφαρμογής τους καθώς και την χρησιμότητά τους σε κλινικές εφαρμογές. Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά το μαθηματικό υπόβαθρο του βιοηλεκτρισμού και του βιομαγνητισμού μέσω της σχεδόν στατικής θεώρησης των εξισώσεων \textlatin{Maxwell}. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η προτυποποίηση των προβλημάτων ηεγ και μεγ στο πλάισιο αυτό διατυπώνοντας το πρόβλημα διαπερατότητας που χωρίζεται στην επίλυση ενός εσωτερικού προβλήματος \textlatin{Neumann} και ενός εξωτερικού προβλήματος \textlatin{Dirichlet}. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά η επίλυση των προβλημάτων ηεγ και μεγ για ομογενή σφαιρικό αγωγό με μία διπολική πηγή στο εσωτερικό καθώς και οι αντίστοιχοι αλγόριθμοι αντιστροφής που δίνουν την θέση και τη ροπή της διπολικής πηγής. Επίσης γίνεται αναφορά στην μη αντιστρεψιμότητα του προβλήματος της μεγ για την περίπτωση του σφαιρικού και του αστρόμορφου αγωγού στη γενική περίπτωση που το δίπολο αντικατασταθεί από μία συνεχή κατανομή ρεύματος. Το τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το ελλειψοειδές σύστημα συντεταγμένων, η αναπαράσταση του τελεστή \textlatin{Laplace} σε ελλειψοειδείς συντεταγμένες και η εξίσωση \textlatin{Lam\'e} από την οποία προκύπτει το πλήρες και ορθοκανονικό σύνολο των ελλειψοειδών αρμονικών αποτελούμενο από τις εσωτερικές, επιφανειακές και εξωτερικές ελλειψοειδείς αρμονικές. Στο πέμπτο κεφάλαιο το ευθύ πρόβλημα των ηεγ και μεγ διατυπώνεται και επιλύεται για έναν ελλειψοειδή αγωγό με μία διπολική πηγή. Τέλος στο έκτο κεφάλαιο επιλύεται το αντίστροφο πρόβλημα της ηεγ για ελλειψοειδή αγωγό με μία διπολική πηγή και το αντίστροφο πρόβλημα των ηεγ και μεγ για την περίπτωση του προτύπου των ανομοιογενών φλοιών.