Αναλυτικές Μέθοδοι Πινάκων στη Θεωρία Ουρών και τη Θεωρία Κινδύνων - Μακρή, Χριστίνα - Γεωργία (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Μία από τις σημαντικότερες καινοτομίες του 20ου αιώνα είναι η Διαχείριση Κινδύνου (Risk Management), καθώς μέχρι το 1950, το ζητούμενο για μία εταιρία ή έναν ιδιώτη ήταν η επιστροφή του κεφαλαίου σε περίπτωση επένδυσης. Το 1952, ο Hanry Markowitz παρουσιάζει για πρώτη φορά τη Θεωρία Χαρτοφυλακίου, σύμφωνα με την οποία η αναμενόμενη απόδοση μιας επένδυσης καθορίζεται από ένα διάγραμμα κινδύνου – επιστροφών, όπου ο κίνδυνος υπολογίζεται με τη χρήση τυπικών κατανομών. Από το τέλος της δεκαετίας του 1970, οι μέθοδοι της Διαχείρισης Κινδύνου στα χρηματοπιστωτικά ιδρύματα εξελίσσονται ταχύτατα. Οι παράγοντες που οδήγησαν στην εξέλιξη και στην προώθηση της Θεωρίας μέτρησης Κινδύνου είναι οι εξής: • Οι ανάγκες που προέκυψαν λόγω του συνεχούς εξελισσόμενου χρηματοοικονομικού περιβάλλοντος. • Οι πιέσεις των εποπτικών εθνικών αρχών εξαιτίας της οικονομικής αστάθειας εκείνης της εποχής. Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία θα συζητήσουμε το μαθηματικό υπόβαθρο βασικών κατανομών στις οποίες στηρίζεται η μέτρηση της Θεωρίας Κινδύνου. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται μία Εισαγωγή στις Μαρκοβιανές Αλυσίδες και στις Ουρές Αναμονής Μ/Μ/1 σε ορισμένο και σε τυχαίο περιβάλλον. Το Κεφάλαιο 1 διαδέχεται το Κεφάλαιο 2, στο οποίο οι Ουρές Αναμονής «Τύπου Φάσης» (Phase Type) εισάγονται προκειμένου να γίνει κατανοητή η έννοια της ουράς αναμονής M/PH/1 , μέσω του αντίστοιχου παραδείγματος. Οι Απορροφητικές Μαρκοβιανές Αλυσίδες του Κεφαλαίου 3 μας οδηγούν στα πολύ σημαντικά παραδείγματα του Κεφαλαίου 4, όπως στην Προσέγγιση της κατανομής Weibull μέσω της PH κατανομής, μία διεργασία που βοηθά στον προσδιορισμό των ανεμολογικών χαρακτηριστικών στις περιοχές της εύκρατης ζώνης και για 100 μέτρα από το έδαφος. Το Κεφάλαιο 5 είναι αφιερωμένο στο μαθηματικό υπόβαθρο των Μη Αρνητικών Πινάκων, οι οποίοι χρησιμοποιούνται εκτενώς στην Θεωρία Κινδύνου και στον προσδιορισμό της συμπεριφοράς των μοντέλων που μας ενδιαφέρουν και που μελετούμε. Ομοίως, το Κεφάλαιο 6 μας εισάγει στις Διαδικασίες Γεννήσεως – Θανάτου Διακριτού και Συνεχούς Χρόνου, έννοιες που θα συναντήσουμε εκτενώς τόσο στο Κεφάλαιο 7, στις βασικές Μη Γραμμικές Εξισώσεις, όσο και στο τελευταίο Κεφάλαιο, στο μοντέλο της Θεωρίας Κινδύνου που παρουσιάζουμε στην παρούσα Διπλωματική Εργασία. Το μοντέλο του Κεφαλαίου 8, αυτό που ουσιαστικά θέλουμε να μελετήσουμε στο πλαίσιο της Θεωρίας Κινδύνου, συμπεριλαμβάνει την αποπληρωμή των μερισμάτων σε μετόχους κεφαλαίου, όπου τα μεγέθη των αποζημιώσεων ακολουθούν διακριτή κατανομή στην εκάστοτε περίπτωση. Η μελέτη μας ολοκληρώνεται μέσω της κατασκευής μιας QBD δομής για το μοντέλο, η οποία αποδίδεται μέσω ενιαίου και διακεκομμένου γραφήματος, μέσω του προσδιορισμού της πιθανότητας χρεοκοπίας με τη βοήθεια της ελλειμματικής της κατανομής και, τέλος, μέσω των αριθμητικών μας παραδειγμάτων.