Ύπαρξη Λύσεων Ομοιότητας Ειδικών Μη Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Με Εφαρμογές Στην Εξελικτική Θεωρία Παιγνίων - Βασιλακοπούλου, Κυριακή (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Το θέμα αυτής της διδακτορικής διατριβής είναι η ύπαρξη λύσεων ομοιότητας ειδικών μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με εφαρμογές στην εξελικτική θεωρία παιγνίων. Μελετάμε μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν έναν μη τοπικό όρο, όπου η χωρική μεταβλητή x ανήκει στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο. Αυτές οι εξισώσεις προέρχονται από την εξελικτική θεωρία παιγνίων και ανήκουν στην κατηγορία των εξισώσεων/μοντέλων της αναπαραγόμενης δυναμικής, όπου ο χώρος των στρατηγικών είναι ο Ευκλείδειος d-διάστατος χώρος (άρα είναι ένα συνεχές). Επικεντρωνόμαστε στην εξίσωση της αναπαραγόμενης δυναμικής χρησιμοποιώντας δύο διαφορικούς, μη συμμετρικούς και χρονοεξαρτώμενους τελεστές αμοιβής. Οπότε μελετάμε δύο διαφορετικά προβλήματα και αποδεικνύουμε ότι έχουν μία μονοπαραμετρική οικογένεια λύσεων ομοιότητας, όπου όλες αυτές οι λύσεις προσεγγίζουν τη συνάρτηση δέλτα Dirac δ(x), καθώς ο χρόνος t πλησιάζει στο 0. Ως συναρτήσεις του x, όλες αυτές οι λύσεις είναι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας στον Ευκλείδειο d-διάστατο χώρο για κάθε t>0 και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως χρονοεξελισσόμενες μεικτές στρατηγικές για έναν παίκτη. Επιπλέον, αποδεικνύουμε τις ιδιότητες και γενικά τη δομή αυτής της μονοπαραμετρικής οικογένειας λύσεων ομοιότητας για αυτά τα μοντέλα αναπαραγόμενης δυναμικής.