Θεωρήματα σταθερού σημείου και εφαρμογές τους - Γεωργίου, Αλέξανδρος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Σκοπός αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη μερικών από τα βασικότερα θεωρήματα σταθερού σημείου και κάποιων εφαρμογών τους. Στο κεφάλαιο 1, αναφέρουμε τα αναγκαία μαθηματικά προαπαιτούμενα που θα μας χρειαστούν για την απόδειξη των εν λόγω θεωρημάτων καθώς και άλλων αποτελεσμάτων. Στο κεφάλαιο 2, παρουσιάζουμε δυο συνδυαστικά λήμματα, αυτά των Sperner και Tucker, τα οποία αποτελούν τη βάση για την απόδειξη των θεωρημάτων σταθερού σημείο αυτής της εργασίας. Στο κεφάλαιο 3, μελετάμε το θεώρημα Κ.Κ.Μ, των Knaster, Kuratowski και Mazurkiewicz, το οποίο αποτελεί συνέπεια του λήμματος του Sperner αλλά επίσης και μια ισοδύναμη μορφή στο θεώρημα του Brouwer. Το θεώρημα αυτό αποτέλεσε αφετηρία για τη μελέτη μιας κατηγορίας πλειότιμων απεικονίσεων, των απεικονίσεων Κ.Κ.Μ, οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή σε πολυάριθμα προβλήματα. Κεντρικό ρόλο στην εργασία κατέχει η γενίκευση του θεωρήματος από τον Fan. Τέλος, στα κεφάλαια 4 και 5, παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα σταθερού σημείο του Brouwer όπως και μερικές από τις μετέπειτα γενικεύσεις του, καθώς επίσης και το θεώρημα των Markov-Kakutani και Borsuk-Ulam, δίνοντας στη συνέχεια μερικές από τις εφαρμογές που βρίσκουν τα θεωρήματα.