Αριθμητικό πεδίο πολυωνυμικών πινάκων - Τσαγκάρη, Αθηνά (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2016)
Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη του αριθμητικού πεδίου των πολυωνυμικών πινάκων. Το αριθμητικό πεδίο πολυωνυμικού πίνακα είναι, ουσιαστικά, μια γενίκευση του αριθμητικού πεδίου του σταθερού πίνακα και παίζει σημαντικό ρόλο στα συστήματα ταλάντωσης με υπεραπόσβεση τα οποία έχουν πεπερασμένους βαθμούς ελευθερίας. Το πρώτο κεφάλαιο είναι μια εισαγωγή στο αριθμητικό πεδίο W(P(λ)) ενός τετραγωνικού πολυωνυμικού P(λ), που περιλαμβάνει βασικές του ιδιότητες καθώς και άλλους χρήσιμους ορισμούς. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζουμε, αρχικά, το αριθμητικό πεδίο πολυωνυμικού πίνακα και τις βασικές του ιδιότητες. Στη συνέχεια, δίνονται παραγοντοποιήσεις τέτοιων πολυωνύμων βασισμενες στις γεωμετρικές ιδιότητες του W(P(λ)) και μελετάμε αριθμητικό πεδίο πολυωνυμικών πινάκων για γραμμικούς πολυωνυμικούς πίνακες με συντελεστές ερμιτιανούς πίνακες. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε το σχήμα του W(P(λ)) χρησιμοποιώντας την έννοια της τοπικής διάστασης. Επίσης, μελετάμε κάποιες αλγεβρικές ιδιότητες των γωνιακών σημείων του αριθμητικού πεδίου καθώς και των μεμονομένων σημείων. Τέλος, μελετώνται και οι ειδικές περιπτώσεις των διαγώνιων πολυωνυμικών πινάκων. Τοτέταρτοκεφάλαιοεστιάζειστουςπολυωνυμικούςπίνακεςτηςμορφης P(λ) = Iλ2+A1λ+A0, (όπου A0 και A1 ειναι n×n ερμιτιανοί πίνακες και λ μια μιγαδική μεταβλητή). Αναπτύσσονται ιδιότητες του αριθμητικού πεδίου χρησιμοποιώντας τη στενη σχέση ανάμεσα στο και W(P(λ)) το κλασσικό αριθμητικό πεδίο του μιγαδικού πίνακα A = A0 + iA1. Στη συνέχεια, εξετάζονται οι ιδιοτιμές και τα μη διαφορίσιμα σημεία στο σύνορο του W(P(λ)) και τέλος παρουσιάζονται κάποιες εφαρμογές σε συστήματα ταλάντωσης.