Μέθοδοι της θεωρίας πινάκων σε στοχαστικά μοντέλα - Καλαρά, Αγγελική (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2016)
Ουρά αναμονής είναι κάθε σύστημα το οποίο παρέχει εξυπηρέτηση κάποιου είδους σε πελάτες που προσέρχονται σε αυτό. Για παράδειγμα, κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό δίκτυο ή αεροπλάνα που κατευθύνονται σε ένα αεροδρόμιο μπορούν να θεωρηθούν ως πελάτες στην θεωρία των ουρών αναμονής, ενώ η παρεχόμενη εξυπηρέτηση είναι η συνδιάλεξη και η προσγείωση αντίστοιχα. Η τυχαιότητα που ενυπάρχει στους χρόνους αφίξεων και εξυπηρετήσεων έχει ως συνέπεια, η εξέλιξη του συστήματος μέσα στο χρόνο, π.χ. ο αριθμός των παρόντων πελατών, ως συνάρτηση του χρόνου, ή οι χρόνοι αναμονής των διαδοχικών πελατών να συνιστά μια στοχαστική διαδικασία ή ανέλιξη. Έτσι οι ουρές αναμονής αποτελούν και ένα πεδίο εφαρμογής των στοχαστικών διαδικασιών. Η θεωρία των ουρών αναμονής έχει τις βάσεις της στις πρωτοποριακές για την εποχή τους μελέτες του A. K. Erlang, στις αρχές του 20ου αιώνα, ενώ λόγω του μεγάλου πρακτικού και θεωρητικού ενδιαφέροντος των αντίστοιχων μαθηματικών στοχαστικών μοντέλων η θεωρία αυτή συνεχίζει να αναπτύσσεται με αμείωτο ρυθμό μέχρι σήμερα. Στο πλαίσιο της παρούσας διπλωματικής εργασίας γίνεται εκτενής αναφορά στα αποτελέσματα της θεωρίας των ουρών αναμονής και άλλων στοχαστικών μοντέλων με στόχο να υπάρχει μία άμεση αλγοριθμική εφαρμογή με τη βοήθεια της Θεωρίας Πινάκων. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας κάνουμε μία εισαγωγή στις Μαρκοβιανές αλυσίδες και ερμηνεύουμε την ουρά αναμονής τύπου GI/M/1 μέσω του πίνακα μετάβασης της. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζονται οι γενικές ιδιότητες των Μαρκοβιανών αλυσίδων και διαδικασιών όπου στη γνήσια επαναληπτική περίπτωση έχουν ένα πινακο-γεωμετρικό αναλλοίωτο διάνυσμα πιθανότητας. Στο τρίτο κεφάλαιο μελετάμε τους τριδιαγώνιους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης. Παράλληλα στην ύλη της εργασίας αναφέρεται ο όρος υπολογιστική πιθανότητα ο οποίος οφείλουμε να προσδιορίσουμε. Η υπολογιστική πιθανότητα δεν αναφέρεται μόνο σε αλγοριθμικά θέματα. Εμφανίζεται και προκύπτει σε αριθμητικούς υπολογισμούς των ήδη αναλυτικών λύσεων. Αυτά τα αλγοριθμητικά θέματα μελετώνται καλύτερα στο πλαίσιο της κλασικής αριθμητικής ανάλυσης. Ωστόσο είναι μέλημα του μελετητή των πιθανοτήτων να διασφαλίσει και να διαβεβαιώσει ότι οι λύσεις που αποκομίζει από τους αριθμητικούς υπολογισμούς είναι οι πιο κατάλληλες και φυσιολογικές δηλαδή είναι οι πιο πλησιέστερες λύσεις στο φυσικό φαινόμενο. Είναι αξιοσημείωτο ότι πριν την εποχή του σύγχρονου υπολογιστή, η μέγιστη προσπάθεια των εφαρμοσμένων μαθηματικών κατευθυνόταν στο να αποκτηθεί βαθιά γνώση στη συμπεριφορά των συνηθισμένων μοντέλων, ενώ απέφευγαν τη δυσκολία στον υπολογισμό μέσω της πρωτόγονης τότε μηχανής.