Martingale και μερικές διαφορικές εξισώσεις - Σπαής, Γεώργιος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2016)
Μια αρκετά σvημαντική κατηγορία σvτοχασvτικών διαδικασvιών είναι τα martingales, τα οποία έχουν την εξής ιδιότητα E(Xn | X0,X1,...,Xn−1) = Xn−1 ∀n η οποία σvημαίνει ότι η γνώσvη του παρελθόντος, δεν επιρεάζει το μέλλον. Η μελέτη αυτών ξεκίνησvε από τα τυχερά παιχνίδια. Στην πραγματικότητα η ονομασvία martingale, προέρχεται από μια παλιά σvτρατηγική, όπου όταν κάποιος χάνει σvε μια παρτίδα ενός τυχερού παιχνιδίου, τότε διπλασvιάζει το σvτοίχημα σvτην επόμενη παρτίδα για να επανακτήσvει τα χρήματα του. Τα martingales εισvάχθηκανσvτηνΘεωρίαΠιθανοτήτωναπότον Paul Levy το 1934. Αρκετοί είναι αυτοί που ασvχολήθηκαν με την θεωρία των martingales, αλλά τα περισvσvότερα αποτελέσvματα της θεωρίας οφείλονται σvτον Joseph Leo Doob. Η θεωρία των Martingales έχει μεγάλη ευρύτητα εφαρμογών, σvτη Θεωρία πιθανοτήτων, σvτη Μαθηματική Ανάλυσvη, σvτις Μερικές Διαφορικές Εξισvώσvεις, καθώς και σvε χώρους της επισvτήμης όχι καθαρά μαθηματικούς, όπως σvτα Χρηματοοικονομικά. Σε αυτή την διπλωματική εργασvία θα δούμε τις βασvικές ιδιότητες των martingales και εφαρμογές τους σvτις Μερικές Διαφορικές Εξισvώσvεις. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασvίας, εισvάγεται η έννοια της δεσvμευμένης μέσvης τιμής, ως τυχαίας μεταβλητής. Η έννοια αυτή είναι απαραίτητη για τον ορισvμό των martingales. Στο επόμενα δύο κεφάλαια, αναπτύσvσvονται οι βασvικές ιδιότητες των martingales διακριτού και σvυνεχούς χρόνου. Ειδικότερα, σvτο δεύτερο κεφάλαιο παρατίθεται μια εφαρμογή των martingales διακριτού χρόνου, το λήμμα των Calderon-Zyqmund, του οποίου η απόδειξη βασvίζεται σvτην κατασvκευεί ενός martingale. Βάσvη αυτού του λήμματος, μια ολοκληρώσvιμη σvυνάρτησvη είναι φραγμένη, εκτός από ένα σvύνολο που έχει μικρό μέτρο. Στο τέταρτο κεφαλαίο, πραγματοποιειται μια μικρή εισvαγωγή σvτο σvτοχασvτικό λογισvμό, με την ανάπτυξη των ιδιοτήτων του σvτοχασvτικού ολοκληρώματος Ito και της Formula Ito. Το σvτοχασvτικό ολοκληρώμα Ito είναι ένα martingales, οπότε ο σvτοχασvτικός λογισvμός αποτελεί ένα απαραίτητο κόμματι αυτής της εργασvίας. Στο τελευταίο κεφάλαιο επιτελείται η σvύνδεσvη των Μερικών Διαφορικών εξισvώσvεων, με τον σvτοχασvτκό λογισvμό. Η σvύνδεσvη αυτή βασvίζεται πάνω σvτην Formula Ito. Πιο σvυγκεκριμένα, η λύσvη ενός προβλήματος Dirichlet, για ένα μερικό γραμμικό διαφορικό τελεσvτή δευτερής τάξης, αναπαράσvταται σvε όρους μέσvης τιμής ενός martingale. Ας δούμε για παράδειγμα την περίπτωσvη του τελεσvτή Laplace. ΄Εχουμε το εξής πρόβλημα Dirichlet 4u = 0σvτο D u = f σvτο ∂D με D μια ανοικτή μπάλα του Rn. Τότε, δεδομένου ότι το πρόβλημα έχει λύσvη, αυτή θα γράφεται ως εξής u(x) = E[f(x + Bτx)]∀x ∈ D όπου (Bt)t≥0 μια n-διάσvτατη κίνησvη Brown και τx ο χρόνος πρώτης εξόδου της (x + Bt)t≥0 από την D. Αυτό το αποτέλεσvμα γενικεύται και για άλλους τελεσvτές, μόνο που σvτη θέσvη της κίνησvης Brown, θα έχουμε κάποια άλλο martingale.