Σχεδόν-αντισυμμετρικοί πίνακες και μετασχηματισμός Levinger - Φανουργιάκη, Γεωργία Στυλιανή (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2016)
Η παρούσα διπλωματική εργασία ξεκίνησε με κίνητρο την εικασία των Brualdi-Li (1983) ως προς το ποιοι πίνακες πρωταθλήματος (tournament matrices) παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη δυνατή ρίζα Perron. Η εικασία αυτή ουσιαστικά στόχευε στην απόδειξη ή μη της αίσθησης ότι όσο η ρίζα Perron ενός πίνακα πρωταθλήματος αυξάνει, τόσο το αντίστοιχο πρωτάθλημα (του οποίου η βαθμολογία δίνεται από το συγκεκριμένο πίνακα) γίνεται πιο αμφίρροπο με “τάση” προς την απόλυτη ισοπαλία. Οι πίνακες πρωταθλήματος που έχουν υποστεί παράλληλη μετατόπιση κατά 12 ανήκουν στην κατηγορία των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, δηλαδή των πραγματικών, μη αρνητικών πινάκων που έχουν συμμετρικό μέρος βαθμού 1. Αρχικά, ο Friedland ήταν εκείνος που γενίκευσε τους πίνακες πρωταθλήματος στην κατηγορία των μη αρνητικών, σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, χρησιμοποιώντας αναλυτικές τεχνικές και μεθόδους. Αργότερα, οι Psarrakos και Tsatsomeros συνέχισαν την προσπάθεια αυτή με μία σειρά από 3 δημοσιεύσεις, οι οποίες έχουν ως αντικείμενο τη συμπεριφορά της ρίζας Perron, τους ιδιόχωρους Perron και το μετασχηματισμό Levinger των μη αρνητικών, σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων. Η ανάλυση επί των συγκεκριμένων πινάκων που πραγματοποιήθηκε, έδειξε τη στενή σχέση της ρίζας Perron με την ποσότητα που ορίστηκε ως διασπορά (variance) πίνακα. Η ποσότητα αυτή αποτελεί ουσιαστικά μέτρο για την απόσταση της “δεξιότερης” ιδιοτιμής ενός πίνακα από την κανονικότητα. Κατά την εν λόγω μελέτη της ρίζας Perron, οι Friedland και Kirkland και έπειτα οι Psarrakos και Tsatsomeros κατασκεύασαν φράγματα με χρήση του μετασχηματισμού Levinger. Πιο συγκεκριμένα, μέσω του μετασχηματισμού αυτού, μελέτησαν τη συμπεριφορά της συνάρτησης Levinger (δηλαδή, της ρίζας Perron του μετασχηματισμένου πίνακα) και της παραγώγου της, καθώς και το φάσμα, τη φασματική ακτίνα και το αριθμητικό πεδίο των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων. Παράλληλα, εξετάστηκε η σχετική γεωμετρία του δεξιού και αριστερού ιδιοχώρου Perron. Στα πλαίσια της εργασίας, μελετάμε αναλυτικά οι σχεδόν-αντισυμμετρικοί πίνακες και ο μετασχηματισμός Levinger μέσω του οποίου επιτυγχάνονται “βελτιωμένα” φράγματα για τη ρίζα Perron, για να καταλήξουμε στην κατηγορία των πινάκων πρωταθλήματος. Πιο συγκεκριμένα, σε πρώτη φάση, εξετάζουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των σχεδόν-αντισυμμετρικών πινάκων, και μελετάμε τη συμπεριφορά του φάσματος και του αριθμητικού πεδίου που έχουν υποστεί μετασχηματισμό Levinger. Κατασκευάζουμε φράγματα -μέσω του 𝑞-αριθμητικού πεδίου αυτή τη φορά- τόσο για τη συνάρτηση Levinger όσο και για την παράγωγό της. Τέλος, εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα που έχουν προκύψει, στους πίνακες πρωταθλήματος. Αναλύουμε πώς αυτοί διακρίνονται σε πίνακες ισοπαλίας και πίνακες σχεδόν ισοπαλίας, σε ποιες περιπτώσεις επιτυγχάνεται η μέγιστη δυνατή ρίζα Perron και πότε παρατηρείται η μικρότερη δυνατή απόσταση από την κανονικότητα.