Second-Order Computational Multiscale Homogenization - Πατίτσα, Ιωάννα (Εθνικό Μετρσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, 2015)
Αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη και η εφαρμογή των μεθόδων υπολογιστικής ομογενοποίησης πολλαπλών κλιμάκων. Σχεδόν όλα τα βιομηχανικά και τεχνητά υλικά, όπως επίσης και τα φυσικά υλικά, που χαρακτηρίζονται από πολλαπλές κλίμακες, παρουσιάζουν ανομοιογένεια σε κάποια συγκεκριμένη κλίμακα, η οποία έχει σημαντικό αντίκτυπο στην παρατηρούμενη μακροσκοπική συμπεριφορά τους. Η απευθείας αριθμητική επίλυση των προβλημάτων πολλαπλής κλίμακας είναι δύσκολη καθώς απαιτείται ένα τεράστιο ποσό μνήμης του υπολογιστή και μεγάλος χρόνος επεξεργασίας. Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί διάφορες μέθοδοι ομογενοποίησης. Η υπολογιστική ομογενοποίηση είναι μια τεχνική που ανήκει στην ευρύτερη ομάδα των μεθόδων πολλαπλών κλιμάκων. Βασίζεται ουσιαστικά στον υπολογισμό της τοπικής μακροσκοπικής απόκρισης μέσω ανάλυσης της υποκείμενης μικροδομής με την κατάλληλη κατασκευή και επίλυση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών σε επίπεδο μικροκλίμακας. Η υπολογιστική ομογενοποίηση πρώτης τάξης εφαρμόζεται σε περιπτώσεις που η μακροκλίμακα μπορεί να περιγραφεί με την κλασσική μηχανική συνεχούς μέσου. Ωστόσο, στις εφαρμογές μικρού μεγέθους, η επίδραση της μικροδομής δε μπορεί πια να θεωρηθεί αμελητέα σε σχέση με το μέγεθος του στοιχείου, οδηγώντας έτσι στα, όπως αποκαλούνται, φαινόμενα κλίμακας (size effects). Στις περιπτώσεις αυτές η υπολογιστική ομογενοποίηση πρώτης τάξης χάνει σε ακρίβεια, οδηγώντας έτσι στην απαίτηση ανάπτυξης μιας υπολογιστικής μεθόδου ομογενοποίησης δευτέρας τάξεως. Στη μέθοδο δευτέρας τάξεως, διατηρείται η θεώρηση του κλασσικού συνεχούς μέσου στη μικροκλίμακα, ενώ στη μακροκλίμακα χρησιμοποιείται μια γενικευμένη θεώρηση συνεχούς μέσου όπου η παραμορφωσιακή ενέργεια, εκτός από την εξάρτηση από τους καθιερωμένους όρους τροπής, εξαρτάται επιπλέον και από τις βαθμίδες τροπής. Στις θεωρίες συνεχούς μέσου τύπου «κλίσεως», εισάγεται συνεπώς η επίδραση της γειτονικής περιοχής σε ένα σημείο. Στα πλαίσια της κλασικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αυτού του είδους απαιτούνται «στοιχεία C1» που να εξασφαλίζουν συνέχεια της μετατόπισης και των πρώτων χωρικών της παραγώγων. Στην παρούσα εργασία, για την εφαρμογή της υπολογιστική ομογενοποίηση δευτέρας τάξεως, η μακροκλίμακα διακριτοποιείται με τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία «C1» ενώ η μικροκλίμακα με τετραπλευρικά ισοπαραμετρικά στοιχεία επίπεδης έντασης. Οι δύο μέθοδοι (πρώτης –δευτέρας τάξεως) εφαρμόζονται σε ένα πρόβλημα κάμψης δοκού και τα αποτελέσματα συγκρίνονται.