Θεωρία ευστάθειας: Θεωρήματα Lyapunov και επεκτάσεις - Ραουνάς, Λοΐζος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2015)
Στο παρόν κείμενο ασχολούμαστε με την Θεωρία Ευστάθειας Lyapunov και τις επεκτάσεις της, σε χρονικά αναλλοίωτα μη – γραμμικά δυναμικά συστήματα. Αρχικά, αναφέρουμε κάποιες βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης, απαραίτητες για την συνέχεια. Έπειτα, αφού ορίσουμε την ευστάθεια κατά Lyapunov, παραθέτουμε το Θεώρημα Lyapunov, το οποίο αποτελεί κριτήριο για ευστάθεια, ασυμπτωτική (τοπική ή ολική) ευστάθεια και εκθετική (τοπική ή ολική) ευστάθεια της μηδενικής λύσης ενός μη – γραμμικού δυναμικού συστήματος. Στην συνέχεια, ασχολούμαστε με μια σειρά θεωρημάτων που αποτελούν κριτήριο για ασυμπτωτική ευστάθεια, γνωστά και ως θεωρήματα αναλλοίωτου συνόλου. Τα θεωρήματα αυτά, εκμεταλλευόμενα τις ιδιότητες των αναλλοίωτων συνόλων, «χαλαρώνουν» την προϋπόθεση του θεωρήματος Lyapunov για αυστηρά αρνητική συνάρτηση Lyapunov. Έπειτα, και αφού πλέον είναι σαφής η σημαντικότητα των συναρτήσεων Lyapunov για την μελέτη της ευστάθειας της λύσης ενός μη – γραμμικού δυναμικού συστήματος, παραθέτουμε τέσσερις μεθόδους κατασκευής συναρτήσεων Lyapunov. Συνεχίζοντας, αναλύουμε μια σειρά από θεωρήματα, γνωστά ως αντίστροφα θεωρήματα Lyapunov, τα οποία εξασφαλίζουν την ύπαρξη μιας συνάρτησης Lyapunov σε μη – γραμμικά δυναμικά συστήματα τα οποία είναι ασυμπτωτικά ευσταθή, εκθετικά ευσταθή και ολικά ασυμπτωτικά ευσταθή. Η αδυναμία μιας υποψήφιας συνάρτησης Lyapunov να αποδείξει την ευστάθεια της μηδενικής λύσης ενός μη – γραμμικού δυναμικού συστήματος, δεν συνεπάγεται κατανάγκην την αστάθεια της. Έτσι, παραθέτουμε μια σειρά από θεωρήματα τα οποία αποτελούν κριτήριο για την αστάθεια της μηδενικής λύσης σε μη – γραμμικά δυναμικά συστήματα. Τέλος, αναφέρουμε συνοπτικά μια σειρά θεωρημάτων της Θεωρίας Ευστάθειας κατά Lyapunov για γραμμικά δυναμικά συστήματα, καθώς και το θεώρημα γραμμικοποίησης Lyapunov, το οποίο αποτελεί κριτήριο για εκθετική ευστάθεια και αστάθεια της μηδενικής λύσης ενός μη – γραμμικού δυναμικού συστήματος, μελετώντας την γραμμικοποιημένη μορφή του.