Μη-Αντιμεταθετική Θεωρία Πιθανοτήτων, Ελευθερία και Εφαρμογές - Γεωργιάδης-Χάρρις, Αλκιβιάδης (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2015)
Η παρούσα εργασία είναι μια παρουσίαση της Μη-Αντιμεταθετικής Θε- ωρίας Πιθανοτήτων και της επιμέρους έννοιας της Ελεύθερης Ανεξαρτησί- ας (ή ελευθερίας), μεταξύ μη-αντιμεταθετικών τυχαίων μεταβλητών. Οι Μη- αντιμεταθετικοί Χώροι Πιθανότητας κατασκευάζονται σε ένα αλγεβρικό πλαί- σιο, θεωρώντας άλγεβρες τυχαίων μεταβλητών. Η μη-αντιμεταθετικότη- τα εμφανίζεται απαλείφοντας οποιαδήποτε αναφορά σε κάποιον χώρο μέ- τρου στο παρασκήνιο, και ορίζοντας τις εν λόγω άλγεβρες αξιωματικά. ́Ενα απλό παράδειγμα είναι τυχαίες μεταβλητές με τιμές σε πίνακες, όπου η μη- αντιμεταθετικότητα είναι εμφανής. ∆είχνεται πως η ελεύθερη ανεξαρτησία είναι η ‘σωστή’ ανάλογη έννοια της κλασικής ανεξαρτησίας, καθώς παράγει ένα Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Συγκεκριμένα, αν panqnPN μια ακολουθία από Αυτοσυζυγείς, ισόνομες (κεν- τραρισμένες) και ‘ελεύθερες’ τυχαίες μεταβλητές, τότε έχουμε: a1 ` ̈ ̈ ̈`an ? n όπου το s ακολουθεί την Semicircular κατανομή του Wigner, dμsptq “ 2 ?r2 ́ t2dt πr2 που φέρεται στο r ́r, rs όπου σ2 “ r2 η κοινή διασπορά των στοιχείων. Υπό 4 αυτήν την έννοια, η semicircular κατανομή είναι το ‘ελεύθερο ανάλογο’ της κανονικής κατανομής. Η εργασία ξεκινά με την παράθεση των βασικών αποτελεσμάτων σε C ̊- άλγεβρες, συμπεριλαμβανομένων και των βασικών κατασκευών (π.χ.: Συνε- χής Συναρτησιακός Λογισμός), οι οποίες παρέχουν τα θεμέλια για την ανάλυ- ση και κατανόηση των Μη-Αντιμεταθετικών Χώρων Πιθανότητας. Μετά από ένα σύντομο φυσικό έναυσμα από την Κβαντική Μηχανική, δίνονται οι ακρι- βείς ορισμοί των Μη-Αντιμεταθετικών Χώρων Πιθανότητας μαζί με τις έννοιες των ‘κατανομών’ των μεταβλητών. Εν συνεχεία, παρουσιάζεται η έννοια της ε- λεύθερης ανεξαρτησίας, οδηγώντας στην απόδειξη του ‘Ελεύθερου Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος.’ Το τελικό κεφάλαιο, αναζητεί παραδείγματα ελεύθε- ρης ανεξαρτησίας σε μοντέλα τυχαίων πινάκων. ∆είχνεται πως οι ανεξάρτητοι Gaussian Τυχαίοι n ˆ n Πίνακες, είναι ασυμπτωτικά ελεύθεροι στο n Ñ `8 όριο.