Προσδιοριστότητα Παιγνίων και Εφαρμογές - Καραμανλής, Μιλτιάδης (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2015)
Στην εισαγωγή αυτής της εργασίας αρχικά δίνουμε κάποια ιστορικά στοιχεία σχετικά με την μελέτη και την χρήση των παιγνίων ως κλάδο των μαθηματικών. Δίνουμε έμφαση στα παίγνια δύο παικτών τέλειας πληροφορίας και την έννοια της προσδιοριστότητας αυτών, δηλαδή την ύπαρξη νικητήριας στρατηγικής για έναν από τους δύο παίκτες. Στην συνέχεια δίνουμε τον ορισμό των ακολουθιακών δέντρων, του σώματος ενός δέντρου, της έννοιας του παιγνίου και της στρατηγικής και αποδεικνύουμε κάποιες βασικές ιδιότητες τους. Μετά την εισαγωγή της έννοιας της προσδιοριστότητας δίνουμε παραδείγματα προσδιοριστών και μη προσδιοριστών παιγνίων αναδεικνύοντας την ανάγκη μελέτης αυτής της έννοιας. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε μια τοπολογική δομή στο σώμα του δέντρου περιγράφουμε την βάση της τοπολογίας αυτής και αποδεικνύουμε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του σώματος ενός δέντρου είναι το σώμα κάποιου υποδέντρου. Στην συνέχεια δίνεται μια απόδειξη του θεωρήματοςτων Gale και Steward για την προσδιοριστότητα των παιγνίων με ανοιχτό ή κλειστό payoff set. Αφού αναδείξουμε την κακή συμπεριφορά των προσδιοριστών συνόλων σε σχέση με τις συνολοθεωρητικές πράξεις, η οποία γίνεται αντιληπτή μέσω ενός παραδείγματος ενός προσδιοριτού συνόλου του οποίου το συμπλήρωμα δεν είναι προσδιοριστό, δίνουμε ικανές συνθήκες ώστε η προσδιοριστότητα όλων των στοιχείων μίας κλάσης υποσυνόλων να συνεπάγεται από την προσδιοριστότητα της συμπληρωματικής κλάσης. Στην επόμενη ενότητα κάνουμε την παρατήρηση ότι η τοπολογία την οποία έχουμε εισάγει στο σώμα του δέντρου είναι πλήρως μετρικοποιήσιμη και συγκεκριμένα μέσω μιας υπερμετρικής γεγονός το οποίο της προσδίδει ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Το κεφάλαιο τελειώνει με την περιγραφή της σ-άλγεβρας των borel υποσυνόλων του χώρου ενώ αποδεικνύονται κάποιες βασικές ιδιότητες της ιεραρχίας των borel υποσυνόλων που στην ουσία μας επιτρέπουν την χρήση επαγωγικών και αναδρομικών τεχνικών μεθόδων απόδειξης. Το 3ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην απόδειξη του περίφημου θεωρήματος του Martin για την προσδιοριστότητα των borel υποσυνόλων του σώματος ενός δέντρου. Αφού δοθούν οι αναγκαίοι ορισμοί ακολουθούμε την δεύτερη επαγωγική απόδειξη του θεωρήματος εξετάζοντας αναλυτικά κάθε βήμα του ερίπλοκου και συνάμα όμορφου συλλογισμού του Martin. Στο 4ο κεφάλαιο γυρίζουμε σελίδα και μπαίνουμε στον κλάδο της borel συνδυαστικής. Με εργαλεία της θεωρίας ομάδων και της περιγραφικής θεωρίας συνόλων αυτή η περιοχή των μαθηματικών ασχολείται με τον borel χρωματισμό γραφημάτων και τις borel κλάσεις ισοδυναμίας πρότυπων borel χώρων και έχει συνδέσεις με τομείς όπως η θεωρία μοντέλων και η θεωρητική πληροφορική. Σταδιακά δίνοντας του κατάλληλους ορισμούς διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το κύριο λήμμα μιας πρόσφατης δουλειάς του Adrew Marks το οποίο έχει αποδειχθεί καρποφόρο στην συγκεκριμένη περιοχή. Κύριο χαρακτηριστικό της απόδειξης είναι ο πρωτότυπος τρόπος με τον οποίο γίνεται η χρήση του θεωρήματος του Martin για την κατασκευή μιας συνάρτησης κάνοντας χρήση αριθμίσιμων σε πλήθος διαφορετικών παιγνίων με ένα προσεκτικά επιλεγμένο payoff set. Κλείνοντας την εργασία αυτή δίνουμε κάποιες από τις εφαρμογές του λήμματος.