Μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με Ισχυρές Ιδιομορφίες - Τραχανάς, Γεώργιος Π. (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2015)
Η παρούσα διατριβή εντάσσεται στην ευρύτερη περιοχή των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Κύριος στόχος είναι η ανάδειξη των ισχυρών δεσμών ανάμεσα σε εξισώσεις που περιλαμβάνουν κρίσιμες ιδιομορφίες και στις ανισότητες τύπου Hardy και Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Στο πρώτο μέρος, διερεύναται η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων της γραμμικής εξίσωσης θερμότητας σε όλο τον χώρο, η οποία σχετίζεται με την κρίσιμη περίπτωση της ανισότητας Caffarelli-Kohn-Nirenberg. Στο δεύτερο μέρος, αναλύεται το απειροδιάστατο δυναμικό σύστημα που ορίζεται από το σχεδόν γραμμικό πρόβλημα σε ένα φραγμένο χωρίο, ενώ παράλληλα έχει διαταραχθεί από έναν γραμμικό όρο που περιέχει πραγματική παράμετρο. Αποδεικνύεται ότι το σύστημα οδηγεί στην ύπαρξη διακλάδωσης τύπου υπερκρίσιμης τρίαινας (pitchfork). Τέλος, στο τρίτο μέρος, θεμελιώνεται η τροχιακή ευστάθεια για τον τελεστή Schrödinger, ο οποίος έχει εφοδιαστεί με το δυναμικό Hardy, συμπεριλαμβανομένης της κρίσιμης σταθερας, και την ομογενή πολυωνυμική μη γραμμικότητα, ενώ έχει τοποθετηθεί σε όλο τον χώρο. Παράλληλα, στο πνεύμα των J. L. Vázquez και Ν. Β. Ζωγραφόπουλου, διερευνάται το φαινόμενο της ύπαρξης της λεγόμενης ενέργειας Hardy στην ιδιομορφία (Hardy singularity energy).