Σύνδεσμοι-Υπόχωροι του R^n και Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά με χρήση Matlab - Νίκος, Κουδούνας (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2015)
H εργασία αυτή έχει βασιστεί στην έρευνα του Καθηγητή Ιωάννη Πολυράκη πάνω στους συνδέσμους-υπόχωρους σε χώρους συναρτήσεων. Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει είναι εάν ένας πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος ενός γραμμικού συνδέσμου είναι και αυτός γραμμικός σύνδεσμος. Αν δεν είναι θα παρουσιάσουμε πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε στο $Matlab$ έναν ελάχιστο(ή ελαχιστικό) γραμμικό σύνδεσμο που να περιέχει τον υπόχωρο αυτόν. Στο πρώτο κεφάλαιο θα δώσουμε κάποιους χρήσιμους ορισμούς για την πιο εύκολη κατανόηση της μελέτης των μερικά διατεταγμένων διανυσματικών χώρων και θα εισάγουμε την έννοια της θετικής βάσης. Σύμφωνα με το θεώρημα Choquet-Kendall ένας πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος είναι γραμμικός σύνδεσμος αν και μόνο αν έχει θετική βάση.Χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε την θετική βάση,αν υπάρχει. Έτσι γνωρίζοντας τη θετική βάση που παράγει τον υπόχωρο μπορούμε να προσδιορίσουμε όλα του τα στοιχεία ως άθροισμα γραμμικών συνδυασμών στοιχείων της θετικής βάσης. Στο δεύτερο κεφάλαιο που αποτελεί και το κύριο μέρος αυτής της εργασίας θα ασχοληθούμε με την περίπτωση του χώρου των συνεχών συναρτήσεων C(Ω) όπου το Ω είναι συμπαγής τοπολογικός χώρος Hausdorf.Ειδικότερα θα ασχοληθούμε με την περίπτωση όπου το Ω είναι πεπερασμένο, δηλαδή Ω={1,2,...,n} για κάποιο n φυσικό και άρα C(Ω)=R^n. Αν γνωρίζουμε τα στοιχεία από τα οποία παράγεται ένας υπόχωρος Χ του R^n ο οποίος όμως δεν είναι γραμμικός σύνδεσμος με τη βοήθεια των θεωρημάτων από τα [2],[3],[4] θα προσπαθήσουμε να υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο για τον προσδιορισμό ενός γραμμικού συνδέσμου ο οποίος περιέχει τον υπόχωρο Χ καθώς και μία θετική βάση του με χρήση του υπολογιστικού προγράμματος Matlab. Αυτό θα γίνει με τη βοήθεια της βασικής συνάρτησης β η οποία χρησιμοποιείται στα παραπάνω θεωρήματα.Στο τρίτο και τελευταίο μέρος θα δώσουμε μία εφαρμογή όλων των παραπάνω στα χρηματοοικονομικά. Πιο συγκεκριμένα θα ασχοληθούμε με το αν μία αγορά που αποτελείται από πεπερασμένους στον αριθμό τίτλους είναι πλήρης ή όχι. Στην περίπτωση που δεν είναι πάλι με τη βοήθεια του Matlab θα κατασκευάσουμε μία πλήρη αγορά η οποία θα περιλαμβάνει την αρχική. Φτάνοντας στο τέλος της εισαγωγής θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον Καθηγητή μου Ιωάννη Πολυράκη για την όλη βοήθειά του και για τον χρόνο που αφιέρωσε για την εκπλήρωση αυτής της διπλωματικής εργασίας.