Εισαγωγή στα μη γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία Η περίπτωση του κριτηρίου Von Mises - Σαββίδης, Αμβρόσιος-Αντώνιος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Τομέας Δομοστατικής, 2014)
Η γραμμική ελαστική ανάλυση για μικρές μετατοπίσεις και παραμορφώσεις είναι μια περίπτωση που ισχύει για κάποιες περιπτώσεις φυσικών φαινομένων όπως η ανάλυση φορέων για μικρά στατικά φορτία. Όμως υπάρχουν περιπτώσεις στη φύση που αυτή η ανάλυση δεν μπορεί να μας δώσει σωστά-ρεαλιστικά αποτελέσματα. Τέτοια παραδείγματα αποτελούνε σεισμικές φορτίσεις σε κτίρια μεγάλου μεγέθους, φορτίσεις σε φορείς μεγάλου μήκους και μεγάλης Ελαστικότητας όπως λάστιχο μεγάλου μήκους και ολισθήσεις πρανών υπό σεισμικές φορτίσεις. Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν ότι γενικά η μη γραμμικότητα σαν φαινόμενο εννοιολογικά διαχωρίζεται σε 2 κατηγορίες. Η πρώτη είναι η μη γραμμικότητα λόγω γεωμετρίας. Αυτό σημαίνει ότι η ισορροπία και η εξισώσεις της λαμβάνονται στην παραμορφωμένη κατάσταση του φορέα κάτι που για μεγάλες μετατοπίσεις ή/και παραμορφώσεις δίνει την ακριβή κατάσταση του φορέα και τις δυνάμεις που δρούνε σε αυτό. Σε αυτή τη μη γραμμικότητα ορίζονται διαφορετικές παραμορφώσεις και τάσεις από αυτές που ξέρουμε από την θεωρία μικρών μετατοπίσεων ακριβώς ώστε να προσεγγιστεί ορθότερα το φαινόμενο. Με βάση αυτές τις νέες τάσεις και παραμορφώσεις με βάση την κλασική θεωρία πεπερασμένων στοιχείων μορφώνουμε το γεωμετρικό μητρώο στιβαρότητας που αντιπροσωπεύει τις δυνάμεις που προκύπτουν λόγω ακριβώς της ισορροπίας στην παραμορφωμένη κατάσταση το οποίο προστίθεται στο ήδη γνωστό μητρώο στιβαρότητας ώστε να διαμορφωθεί το ολικό εφαπτομενικό μητρώο στιβαρότητας που θα χρειαστεί για να υπολογίσουμε τις μετατοπίσεις σε δεδομένη χρονική στιγμή. Αυτή η ανάλυση είναι πολύ χρήσιμη στην επιστήμη του Πολιτικού Μηχανικού για φαινόμενα κατάρρευσης λόγω μεγάλων μετακινήσεων όπως αστάθεια μελών-λυγισμός ή κατάρρευση δομική σε καταστάσεις οιωνεί κατάρρευσης (Structural Collapse). Η δεύτερη μη γραμμικότητα είναι η μη γραμμικότητα λόγω υλικού. Αυτή ανεξάρτητα του πού λαμβάνουμε την ισορροπία κοιτάζει την φυσική ιδιότητα του υλικού να μην έχει απείρως γραμμική συμπεριφορά στο διάγραμμα τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων. Λαμβάνονται μαθηματικές σχέσεις που διέπουν όχι μόνο την μετελαστική συμπεριφορά των υλικών όπως ερπυσμός χαλάρωση κράτυνση αλλά και το τι συμβαίνει όταν το υλικό φτάνει στην οριακή του κατάσταση. Και οι 2 νόμοι αυτοί είναι ιδιαίτερα σημαντικοί και ανάλογα με το είδος του υλικού η μαθηματική σχέση θα δείξει την συμπεριφορά του υλικού κάτι που θα αντανακλαστεί στις τάσεις και τις μετατοπίσεις του φορέα για δεδομένη φόρτιση. Εν γένει στη φύση υπάρχουν 2 είδη υλικών. Τα ευσταθή υλικά που σε όλη τους την πορεία η αύξηση των μετακινησιακών μεγεθών θα δώσει αύξηση ή στασιμότητα των εντατικών μεγεθών με θετικό παραγόμενο έργο και είναι τα υλικά που ο Πολιτικός Μηχανικός σχεδιάζει για αυτά όπως το Οπλισμένο Σκυρόδεμα και ο Δομικός Χάλυβας. Επίσης υπάρχουν τα ασταθή υλικά που κάποια στιγμή αύξηση των μετακινησιακών μεγεθών θα δώσει μείωση των εντατικών μεγεθών με θετικό παραγόμενο έργο και είναι υλικά όπως το Άοπλο Σκυρόδεμα. Για τα ευσταθή υλικά εν γένει υπάρχουν 3 κύριες μαθηματικές σχέσεις που διέπουν την οριακή κατάσταση των υλικών ενώ για την μετελαστική συμπεριφορά των υλικών κανείς από τη βιβλιογραφία μπορεί να βρει μια πληθώρα επιλογών για διαγράμματα τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων για δεδομένο είδος φόρτισης (μονοτονική-ανακυκλιζόμενη). Η πρώτη κύρια μαθηματική σχέση είναι το κριτήριο Von Mises που βρίσκει εφαρμογή κυρίως σε μέταλλα. Γραμμικοποιημένη εκδοχή του είναι και το πρίσμα του Tresca. Η δεύτερη εκδοχή είναι το κριτήριο Mohr Coulomb που είναι παραβολοειδής επιφάνεια στο χώρο αλλά τελικά γίνεται πρισματική και βρίσκει πιο έντονη εφαρμογή στα βραχώδη-αμμώδη υλικά όπως άμμος ή Οπλισμένο Σκυρόδεμα αλλά η βιβλιογραφία μας δείχνει ότι μπορεί να εφαρμοστεί και για μέταλλα. Και τέλος το κριτήριο Drucker-Prager που είναι μια ευθειογενής επιφάνεια παρόμοια με το Mohr-Coulomb με ίδια πιστότητα εφαρμογής (και καλύτερη σε ειδικές περιπτώσεις) με το Mohr-Coulomb όμως με ένα συγκριτικό πλεονέκτημα ότι είναι υπολογιστικά καλύτερη η επίλυση με το κριτήριο Drucker-Prager. Στη παρούσα εργασία θα αναλυθεί διεξοδικά το κριτήριο Von Mises και θα παρουσιαστούν παραδείγματα με βάση το κριτήριο αυτό. Συμπληρωματικά θα αναλυθούν τα κεφάλαια της μη γραμμικής αριθμητικής ολοκλήρωσης για στατικά και δυναμικά φαινόμενα.