Framization of the Temperley-Lieb algebra and related link invariants - Γκουνταρούλης, Δημοκλής (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2014)
Η τεχνική της πλαισίωσης (ή framization) είναι μια τεχνική που αναπτύχθηκε από τους Juyumaya και Λαμπροπούλου, και αποτελείται από μια γενίκευση μιας άλγεβρας κόμβων έτσι ώστε το αποτέλεσμα να σχετίζεται με τους πλαισιωμένους κόμβους. Το πιο βασικό παράδειγα πλαισίωσης αποτελεί η άλγεβρα Yokonuma-Hecke η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως πλαισίωση της άλγεβρας κόμβων Iwahori-Hecke. Στην προσπάθεια τους, οι Juyumaya και Λαμπροπούλου, να ορίσουν τοπολογικές αναλλοίωτες για πλαισιωμένους κόμβους μέσω του γραμμικού ίχνους Juyumaya (συμβ. tr) με παραμέτρους z,x1,…,xd-1, που ορίστηκε πάνω στην άλγεβρα Yokonuma-Hecke, προέκυψε πως το tr δεν μπορεί να κανονικοποιηθεί άμεσα σύμφωνα με τις σχέσεις ισοδυναμίας για πλαισιωμένες πλεξίδες. Το γεγονός αυτό οδήγησε σε συνθήκες που θα έπρεπε να επιβληθούν στις παραμέτρους x1,…,xd-1 της απεικόνισης ίχνους tr. Συγκεκριμένα, οι παράμετροι x1,…,xd-1της απεικονίσης ίχνους tr θα πρέπει να ικανοποιούν ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων, το λεγόμενο E-σύστημα. Μια προφανής λύση είναι όταν τα x1,…,xd-1 είναι d-ρίζες της μονάδας. Σ’αυτή τη διδακτορική προτείνουμε τρεις πιθανές πλαισώσεις τις άλγεβρας Temperley-Lieb ως πηλίκα της άλγεβρας Yokonuma-Hecke και τις αναλλοίωτες κόμβων που αντιστοιχούν σε κάθε περίπτωση. Οι πιθανές άλγεβρες πηλίκα που προκύπτουν είναι οι εξής: H άλγεβρα Yokonuma-Temperley-Lieb (συμβ. YTLd,n(u)), ή άλγεβρα Framization of Temperley-Lieb (συμβ. FTLd,n(u)) και η άλγεβρα Complex Reflection Temperley-Lieb (σύμβ. CTLd,n(u)). Δίδονται παραστάσεις με αντιστρέψιμους αλλά και με μη-αντιστρέψιμους γεννήτορες για κάθε μια από τις παραπάνω άλγεβρες πηλίκα, ενώ παράλληλα αποδεικνύεται η σχέση μεταξύ τους μέσω αντιμεταθετικού διαγράμματος. Επιπλέον, με χρήση εργαλείων της Αρμονικής Ανάλυσης για πεπερασμένες ομάδες και με εφαρμογή κατάλληλου μετασχηματισμού Fourier, δίδονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε η γραμμική απεικόνιση ίχνους tr να περνά σε κάθε μία από τις παραπάνω άλγεβρες. Για την περίπτωση της άλγεβρας πηλίκο YTLd,n(u), το tr περνα αν και μόνο αν οι παράμετροι x1,…,xd-1 είναι d-ρίζες της μονάδας. Σ’αυτή την περίπτωση ανακτούμε είναι το πολυώνυμο Jones, ίσως την πιο σημαντική αναλλοίωτη κόμβων. Για τη δεύτερη άλγεβρα πηλίκο, την FTLd,n(u), οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες έτσι ώστε να περνά το tr εμπεριέχουν όλες τις λύσεις του Ε-συστήματος. Οι συνθήκες, τέλος,