Μέθοδοι ομαλοποίησης αντίστροφων προβλημάτων και εφαρμογές σε προβλήματα θερμικής διάδοσης - Τσοπανάκης, Γρηγόριος (Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών, 2014)
Η παρούσα διπλωματική εργασία έχει ως στόχο τη μελέτη των αντιστρόφων προβλημάτων Fredholm Α΄ είδους και την παρουσίαση μερικών από τις μεθόδους επίλυσης αυτών. Η αναλυτική επίλυση τέτοιων προβλημάτων, γίνεται εισάγοντας τη μέθοδο Singular Value Expansion (SVE), η δυσκολία εφαρμογής της οποίας μας αναγκάζει να καταφύγουμε στη χρήση αριθμητικών μεθόδων, αφού πρώτα το συνεχές πρόβλημα μετασχηματιστεί σε διακριτό. Η διακριτοποίηση αυτή, επιτυγχάνεται μέσω της αριθμητικής μεθόδου ολοκλήρωσης ή της μεθόδου Galerkin, με τη μετατροπή του συνεχούς προβλήματος σε ένα γραμμικό σύστημα. Στη συνέχεια, εισάγεται η μέθοδος Singular Value Decomposition (SVD) μέσω της οποίας επιτυγχάνεται η διατύπωση ενός κριτηρίου επίλυσης αντιστρόφων προβλημάτων Fredholm Α΄ είδους καθώς και η αριθμητική επίλυση αυτών. Εξαιτίας του γεγονότος ότι τα αντίστροφα προβλήματα Fredholm Ά είδους, επηρεάζονται από την εισαγωγή σφαλμάτων στα δεδομένα, δηλαδή είναι κακώς τεθειμένα, τρεις ειδικές μέθοδοι εισάγονται, ώστε μια καλή και ευσταθής προσέγγιση να επιτυγχάνεται. Αυτές είναι γνωστές και ως μέθοδοι ομαλοποίησης και είναι η Truncated SVD (TSVD), η Selective SVD (SSVD) και η Tikhonov. Οι δυο πρώτες χρησιμοποιούν αποκλειστικά την SVD για την εφαρμογή τους, σε αντίθεση με την τελευταία. Η ομαλότητα που επιβάλουν αυτές οι μέθοδοι στη λύση, ουσιαστικά περιορίζει τη νόρμα της λύσης σε «φυσιολογικά επίπεδα» ενώ ταυτόχρονα απομονώνει, ως ένα βαθμό, τα περιττά σφάλματα που υπεισέρχονται σε αυτή. Δυστυχώς, το μέγεθος της ομαλότητας που μπορεί να επιβληθεί σε κάθε περίπτωση, δεν αποτελεί μια εύκολη επιλογή. Για το λόγο αυτό, διάφορες μέθοδοι έχουν προταθεί που επιλύουν, κατά περίσταση, το συγκεκριμένο πρόβλημα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία επιλέχτηκαν να παρουσιαστούν οι μέθοδοι Discrepancy Principle, L-Curve και Generalized Cross Validation. Τέλος, επιλύεται ένα αντίστροφο πρόβλημα θερμικής διάδοσης, μέσω των μεθόδων που εισήχθησαν.