Χώροι Banach με λίγους τελεστές - Ζησιμοπούλου, Δέσποινα Ιωαννα (Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, 2014)
Η διδακτορική διατριβή περιλαμβάνει τέσσερις ερευνητικές εργασίες στις οποίες παρουσιάζονται κατασκευές χώρων Banach που προκύπτουν από κατάλληλους συνδυασμούς μεθόδων κατασκευής καθολικά αδιάσπαστων χώρων Banach και L∞ χώρων. Εφαλτήριο για αυτές τις κατασκευές αποτελεί η ακόλουθη εργασία S.A.Argyros and R.G.Haydon, A hereditarily indecomposable L∞ space that solves the scalar-plus-compact-problem, ActaMath. 206 (2011), no.1, 1-54. Ο χώρος των Argyros-Ηaydon είναι διαχωρίσιμος και έχει την «scalar-plus-compact» ιδιότητα, δηλαδή κάθε (γραμμικός, φραγμένος) τελεστής πάνω στο χώρο είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού συν ένα συμπαγή τελεστή. Επίσης, η κατασκευή του είναι μία γενικευμένη παραλλαγή της μεθόδου κατασκευής διαχωρίσιμων L∞–χώρων των J. Bourgain-F.Delbaen (1980) με εναλλακτικές τεχνικές ορισμού νόρμας τύπου Tsirelson. Στην πρώτη εργασία για δεδομένο 1<p<∞, κατασκευάζεται ένας L∞ χώρος Χp που είναι ℓp κορεσμένος, δηλαδή κάθε υπόχωρος περιέχει περαιτέρω υπόχωρο που είναι ισόμορφος με τον ℓp. Η κατασκευή του Χp στηρίζεται στο συνδυασμό μιάς γενικευμένης τροποποιησης της BD μεθόδου κατάσκευης με μεθόδους ορισμού νόρμας τύπου Tsirelson. Στη δεύτερη εργασία αποδεικνύεται είναι ότι κάθε διαχωρίσιμος ομοιόμορφα κυρτός χώρος Banach Χ εμφυτεύεται σε έναν L∞ χώρο Βanach Ζ που έχει τη «scalar-plus-compact» ιδιότητα και διαχωρίσιμο δυϊκό. Σημαντικό συστατικό της μεθόδου είναι ένα αποτέλεσμα των D. Freeman, E.Odell, Th. Schlumprecht σύμφωνα με το οποίο μπορούμε να εμφυτεύσουμε τον Χ σε έναν L∞ χώρο Υ με διαχωρίσιμο δυϊκό. Χρησιμοποιώντας μία γενικευμένη εκδοχή της μεθόδου κατασκευής των Argyros-Haydon κατασκευάζουμε ένα L∞ χώρο Βanach Ζ που περιέχει τον Χ και επιπλέον έχει την «scalar plus compact» ιδιότητα. Η τρίτη εργασία αποτελεί γενίκευση της δεύτερης εργασίας στην ευρεία κατηγορία χώρων Banach που δεν περιέχουν συμπληρωματικά τον ℓ1. Το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο: Έστω Χ χώρος Banach με διαχωρίσιμο συζυγή. Τότε ο Χ εμφυτεύεται σε έναν L∞ χώρο Υ με διαχωρίσιμο δυϊκό που έχει επιπλέον τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. O χώρος πηλίκο Ζ/Χ είναι καθολικά αδιάσπατος και έχει τη «scalar plus compact» ιδιότητα. 2. Aν ο συζυγής Χ* εκτός από διαχωρίσιμος δεν περιέχει συμπληρωματικά τον ℓ1, τότε ο Ζ έχει την «scalar plus compact» ιδιότητα. Στην τελευταία εργασία, oρίζεται μία νέα κατηγορία ευθέων αθροισμάτων. Ειδικότερα, δοσμένης μίας ακολουθίας διαχωρίσιμων χώρων Banach (Χn)n ορίζεται το Bourgain-Delbaen L∞ ευθυ άθροισμα της, (ΣXn)BD ,και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την BD παραλλαγή των Argyros-Haydon κατασκευάζουμε τα ευθέα αθροίσματα (ΣXn)ΑΗ . Σαν εφαρμογή μελετάμε τις ειδικές περιπτώσεις Ζp=(Σℓp)ΑΗ για 1≤p<∞ και αποδεικνύουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n, το ν-οστό ευθύ άθροισμά τους, (Ζp+...+Zp)∞ έχει ακριβώς n+1 (μη ισόμορφους ανά δύο) συμπληρωματικούς υποχώρους.